3.1 线性回归 | Yuyuzheng2499 の Blog

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Jan 26, 2026

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动手深度学习v2课程

3.1.1. 线性回归的基本元素

线性回归（linear regression）可以追溯到19世纪初，它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。线性回归基于几个简单的假设：首先，假设自变量和因变量之间的关系是线性的，即可以表示为中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

一个实际的例子：我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set）或训练集（training set）。每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample），也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

通常，使用来表示数据集中的样本数。对索引为的样本，其输入表示为，其对应标签是。

3.1.1.1. 线性模型

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：

公式(3.1.1)中的和称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。

称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。偏置是指当所有特征都取值为0时，预测值应该为多少。即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。如果没有偏置项，模型的表达能力将受到限制。严格来说，公式（3.1.1）是输入特征的一个仿射变换（affine transformation）。仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation），并通过偏置项来进行平移（translation）。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重和偏置，使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。

在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。当我们的输入包含个特征时，我们将预测结果（通常使用“尖角”符号表示的估计值）表示为：

将所有特征放到向量中，并将所有权重放到向量中，可以用点积形式来简洁地表达模型：

在公式（3.1.3）中，向量对应于单个数据样本的特征。用符号表示的矩阵可以很方便的引用整个数据集的个样本。其中的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合，预测值可以通过矩阵-向量乘法表示为：

给定训练数据特征和对应的已知标签，线性回归的目标是找到一组权重向量和偏置：当给定从的同分布中取样的新样本特征时，这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定预测的最佳模型会是线性的，但实际中无论使用什么手段，都可能会出现少量的观察误差。因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在开始寻找最好的模型参数（model parameters）和之前，我们还需要两个东西：（1）一种模型质量的度量方式；（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

3.1.1.2. 损失函数

我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。当样本的预测值为，其相应的真实标签为时，平方误差可以定义为以下公式：

常数不会带来本质的差别，只是为了求导方便。

下面是一张为一维情况下的回归问题绘制的图像

由于平方误差函数中的二次方项，估计值和观测值之间较大的差异将导致更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集个样本上的损失均值（也等价于求和）。

在训练模型的时候，我们希望寻找一组参数（），这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

3.1.1.3. 解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，这类解叫作解析解（analytical solution）。首先，我们将偏置合并到参数中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。我们的预测问题是最小化。这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。将损失关于的导数设为0，得到解析解：

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

3.1.1.4 随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

接下来介绍一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量，它是由固定数量的训练样本组成的。然后，计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（梯度）。最后，将梯度乘以学习率，并从当前参数的值中减掉。其公式如下：

该算法步骤如下：

初始化模型参数的值，如随机初始化

从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代该步骤。

对于平方损失和仿射变换，可以写成如下形式：

公式(3.1.10)中的和都是向量。表示每个小批量中的样本数，也就是批量大小（batch size）。表示学习率（learning rate）。批量大小和学习率的值通常是手动指定而不是通过模型训练得到的。这些可以调整但不可在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为。但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失，这一挑战被称为泛化（generalization）。

3.1.1.5. 用模型进行预测

给定一个已经完成学习的线性回归模型，现在可以通过房屋面积和房龄来估计一个新房屋的价格。给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

3.1.2. 矢量化加速

在训练模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化，从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

接下来通过对比向量相加的两种方法来说明矢量化的重要性。实例化两个全为1的10000维向量。分别使用python的for循环变量向量，以及调用+来实现。

由于需要对比时间，因此需要一个计时器

现在开始测试for循环

然后测试重载的+运算符来计算按元素的和

结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。矢量化代码通常会带来数量级的加速。

3.1.3. 正态分布和平方损失

接下来通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。正态分布和线性回归之间的关系很密切。正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution），最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。简单的说，若简单变量具有均值和方差（标准差），其正态分布概率密度函数如下:

下面来定义一个python函数来计算正态分布

接下来可视化正态分布。

观察可以发现，改变均值会产生沿轴方向的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。

均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如下式:

其中，。

因此我们现在可以写出通过给定的观测到特定的似然（likelihood）：

现在，根据极大似然估计法，参数和的最优值是使整个数据集的似然最大的值：

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为最小化负对数似然。由此可以得到的数学公式是：

现在只需要假设是某个固定的常数就可以忽略第一项。现在第二项除了常数外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。幸运的是，上面式子的解并不依赖于。因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

3.1.4. 从线性回归到神经网络

尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型，我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型，从而把线性模型看作一个神经网络。首先，用“层”符号来重写这个模型。

深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。如下图，将线性回归模型描述为一个神经网络。需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。

在上图所示的神经网络中，输入为，因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为。网络的输出为，因此输出层中的输出数是1。需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。即上图中神经网络的层数为。我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，我们将这种变换称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。下一章将详细讨论由这些层组成的网络。

3.1.5. 小结

机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。

矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。

最小化目标函数和执行极大似然估计等价。

线性回归模型也是一个简单的神经网络。