4.4 模型选择、欠拟合和过拟合

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Mar 4, 2026

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动手深度学习v2课程

4.4.1. 训练误差和泛化误差

训练误差（training error）是指，模型在训练数据集上计算得到的误差。泛化误差（generalization error）是指，模型应用在同样从原始样本的分布中抽取的无限多数据样本时，模型误差的期望。

问题是，我们永远不能准确地计算出泛化误差。这是因为无限多的数据样本是一个虚构的对象。在实际中，我们只能通过将模型应用于一个独立的测试集来估计泛化误差，该测试集由随机选取的、未曾在训练集中出现的数据样本构成。

一个简单的例子：假设一个大学生正在努力准备期末考试。一个勤奋的学生会努力做好练习，并利用往年的考试题目来测试自己的能力。尽管如此，在过去的考试题目上取得好成绩并不能保证他会在真正考试时发挥出色。例如，学生可能试图通过死记硬背考题的答案来做准备。他甚至可以完全记住过去考试的答案。另一名学生可能会通过试图理解给出某些答案的原因来做准备。在大多数情况下，后者会考得更好。

4.4.1.1. 统计学习理论

在我们目前已探讨、并将在之后继续探讨的监督学习情景中，我们假设训练数据和测试数据都是从相同的分布中独立提取的。这通常被称为独立同分布假设（i.i.d. assumption），这意味着对数据进行采样的过程没有进行“记忆”。换句话说，抽取的第2个样本和第3个样本的相关性，并不比抽取的第2个样本和第200万个样本的相关性更强。

有时候我们即使轻微违背独立同分布假设，模型仍将继续运行得非常好。比如，我们有许多有用的工具已经应用于现实，如人脸识别、语音识别和语言翻译。毕竟，几乎所有现实的应用都至少涉及到一些违背独立同分布假设的情况。

有些违背独立同分布假设的行为肯定会带来麻烦。比如，我们试图只用来自大学生的人脸数据来训练一个人脸识别系统，然后想要用它来监测疗养院中的老人。这不太可能有效，因为大学生看起来往往与老年人有很大的不同。

当我们训练模型时，我们试图找到一个能够尽可能拟合训练数据的函数。但是如果它执行地“太好了”，而不能对看不见的数据做到很好泛化，就会导致过拟合。这种情况正是我们想要避免或控制的。深度学习中有许多启发式的技术旨在防止过拟合。

4.4.1.2. 模型复杂性

当我们有简单的模型和大量的数据时，我们期望泛化误差与训练误差相近。当我们有更复杂的模型和更少的样本时，我们预计训练误差会下降，但泛化误差会增大。模型复杂性由什么构成是一个复杂的问题。一个模型是否能很好地泛化取决于很多因素。例如，具有更多参数的模型可能被认为更复杂，参数有更大取值范围的模型可能更为复杂。通常对于神经网络，我们认为需要更多训练迭代的模型比较复杂，而需要早停（early stopping）的模型（即较少训练迭代周期）就不那么复杂。

我们很难比较本质上不同大类的模型之间（例如，决策树与神经网络）的复杂性。就目前而言，一条简单的经验法则相当有用：统计学家认为，能够轻松解释任意事实的模型是复杂的，而表达能力有限但仍能很好地解释数据的模型可能更有现实用途。

几个影响模型泛化的因素如下：

可调整参数的数量。当可调整参数的数量（有时称为自由度）很大时，模型往往更容易过拟合。

参数采用的值。当权重的取值范围较大时，模型可能更容易过拟合。

训练样本的数量。即使模型很简单，也很容易过拟合只包含一两个样本的数据集。而过拟合一个有数百万个样本的数据集则需要一个极其灵活的模型。

4.4.2. 模型选择

在机器学习中，我们通常在评估几个候选模型后选择最终的模型。这个过程叫做模型选择。有时，需要进行比较的模型在本质上是完全不同的（比如，决策树与线性模型）。又有时，我们需要比较不同的超参数设置下的同一类模型。

例如，训练多层感知机模型时，我们可能希望比较具有不同数量的隐藏层、不同数量的隐藏单元以及不同的激活函数组合的模型。为了确定候选模型中的最佳模型，我们通常会使用验证集。

4.4.2.1. 验证集

原则上，在我们确定所有的超参数之前，我们不希望用到测试集。如果我们在模型选择过程中使用测试数据，可能会有过拟合测试数据的风险，那就麻烦大了。如果我们过拟合了训练数据，还可以在测试数据上的评估来判断过拟合。但是如果我们过拟合了测试数据，我们又该怎么知道呢？

因此，我们决不能依靠测试数据进行模型选择。然而，我们也不能仅仅依靠训练数据来选择模型，因为我们无法估计训练数据的泛化误差。

在实际应用中，情况变得更加复杂。虽然理想情况下我们只会使用测试数据一次，以评估最好的模型或比较一些模型效果，但现实是测试数据很少在使用一次后被丢弃。我们很少能有充足的数据来对每一轮实验采用全新测试集。

解决此问题的常见做法是将我们的数据分成三份，除了训练和测试数据集之外，还增加一个验证数据集（validation dataset），也叫验证集（validation set）。

4.4.2.2. K折交叉验证

当训练数据稀缺时，我们甚至可能无法提供足够的数据来构成一个合适的验证集。这个问题的一个流行的解决方案是采用折交叉验证。

原始训练数据被分成个不重叠的子集。然后执行次模型训练和验证，每次在个子集上进行训练，并在剩余的一个子集（在该轮中没有用于训练的子集）上进行验证。最后，通过对次实验的结果取平均来估计训练和验证误差。

4.4.3. 欠拟合与过拟合

当我们比较训练和验证误差时，我们要注意两种常见的情况。首先，我们要注意这样的情况：训练误差和验证误差都很严重，但它们之间仅有一点差距。如果模型不能降低训练误差，这可能意味着模型过于简单（即表达能力不足），无法捕获试图学习的模式。此外，由于我们的训练和验证误差之间的泛化误差很小，我们有理由相信可以用一个更复杂的模型降低训练误差。这种现象被称为欠拟合（underfitting）。

另一方面，当我们的训练误差明显低于验证误差时要小心，这表明严重的过拟合（overfitting）。注意，过拟合并不总是一件坏事。特别是在深度学习领域，众所周知，最好的预测模型在训练数据上的表现往往比在保留（验证）数据上好得多。最终，我们通常更关心验证误差，而不是训练误差和验证误差之间的差距。

是否过拟合或欠拟合可能取决于模型复杂性和可用训练数据集的大小，这两个点将在下面进行讨论。

4.4.3.1. 模型复杂性

为了说明一些关于过拟合和模型复杂性的经典直觉，我们给出一个多项式的例子。给定由单个特征和对应实数标签组成的训练数据，我们试图找到下面的阶多项式来估计标签。

这只是一个线性回归问题，我们的特征是的幂给出的，模型的权重是给出的，偏置是给出的（因为对于所有的都有）。由于这只是一个线性回归问题，我们可以使用平方误差作为我们的损失函数。

高阶多项式函数比低阶多项式函数复杂得多。高阶多项式的参数较多，模型函数的选择范围较广。因此在固定训练数据集的情况下，高阶多项式函数相对于低阶多项式的训练误差应该始终更低（最坏也是相等）。事实上，当数据样本包含了的不同值时，函数阶数等于数据样本数量的多项式函数可以完美拟合训练集。

4.4.3.2. 数据集大小

另一个重要因素是数据集的大小。训练数据集中的样本越少，我们就越有可能（且更严重地）过拟合。随着训练数据量的增加，泛化误差通常会减小。此外，一般来说，更多的数据不会有什么坏处。对于固定的任务和数据分布，模型复杂性和数据集大小之间通常存在关系。给出更多的数据，我们可能会尝试拟合一个更复杂的模型。能够拟合更复杂的模型可能是有益的。如果没有足够的数据，简单的模型可能更有用。对于许多任务，深度学习只有在有数千个训练样本时才优于线性模型。从一定程度上来说，深度学习目前的生机要归功于廉价存储、互联设备以及数字化经济带来的海量数据集。