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Apr 1, 2026
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Machine_Learning/deep-learning-study-notes/4_5
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动手深度学习v2课程
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机器学习
深度学习
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这一节介绍正则化模型的技术。尽管可以通过收集更多的训练数据来缓解过拟合，但这一行为成本高，耗时多，短期内无法做到。假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，便可以将重点放在正则化技术上。
在4.4节中，我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials），也可以说是变量幂的乘积。单项式的阶数是幂的和，例如和都是3次单项式。
随着阶数的增长带有阶数的项数迅速增加，给定个变量，阶数为的项的个数为，即。因此即使是阶数上的微小变化，比如从2到3，也会显著增加我们模型的复杂性。仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊，我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。
在2.3.10节中，已经介绍了范数和范数，它们是范数的特殊情况。
在训练参数化机器学习模型时，权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一， 它通常也被称为正则化。这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度，因为在所有函数中，函数在某种意义上是最简单的。但是应该如何精确的测量一个函数和零之间的距离呢？
一种简单的方法是通过线性函数中的权重向量的某个范数来度量其复杂性，例如。要保证权重向量比较小，最常用的方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。将原来的训练目标——最小化训练标签上的预测损失，调整为——最小化预测损失和惩罚项之和。现在，如果我们的权重向量增长的太大，我们的学习算法可能会集中于最小化权重范数，这正是我们想要的。回顾3.1节中线性回归的例子，损失由下式给出：
为了惩罚权重向量的大小，必须以某种方式在损失函数中添加，但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？实际上，我们通过引入正则化常数来描述这种权衡。这是一个非负超参数，使用验证数据拟合：
对于，我们恢复了原来的损失函数。对于，我们限制的大小，这里除以2是为了求导计算方便。为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？我们这样做是为了便于计算。
此外，这里为什么选择范数而不是范数。事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法，正则化线性回归是统计学中类似的基本模型，通常被称为套索回归（lasso regression）。使用范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。相比之下，惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上，而将其他权重清除为零。 这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。
使用与使用与公式3.1.10中的相同符号，正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式
根据之前章节所提到的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新。然而，我们同时也在试图将的大小缩小到零。这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。较小的值对应较少约束的， 而较大的值对的约束更大。
是否对相应的偏置进行惩罚在不同的实践中会有所不同，在神经网络的不同层中也会有所不同。通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。
4.5.1. 高维线性回归
通过一个简单的例子来演示权重衰减。
首先和以前一样，使用以下公式生成一些数据：
为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到，并使用一个只包含20个样本的小训练集。
4.5.2. 从零开始实现
下面从头开始实现，只需要将的平方惩罚添加到原始目标函数中
4.5.2.1. 初始化模型参数
首先定义一个函数来初始化模型参数
4.5.2.2. 定义范数惩罚
对所有项求平方之后并将它们求和。
4.5.2.3. 定义训练代码实现
下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过
d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。4.5.2.4. 忽略正则化直接训练
现在使用
lamda=0禁用权重衰减之后运行该代码。发现训练误差减少，但测试误差没有减少，说明出现了严重的过拟合。
4.5.2.5. 使用权重衰减
下面使用权重衰减来运行代码。
虽然这里的训练误差增大了，但是测试误差减小，这正是我们期望从正则化中得到的效果。
4.5.3. 简洁实现
由于权重衰减在神经网络优化中很常用，深度学习框架为了便于我们使用权重衰减，将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。此外，这种集成还有计算上的好处，允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值，因此优化器必须至少接触每个参数一次。
训练得到
4.5.4. 小结
- 正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。
- 保持模型简单的一个特别的选择是使用惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。
- 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。
- 在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。