4.7 前向传播、反向传播和计算图

type

Page

status

Invisible

date

Apr 3, 2026

slug

Machine_Learning/deep-learning-study-notes/4_7

summary

动手深度学习v2课程

4.7.1. 前向传播

前向传播（forward propagation或forward pass）指的是：按顺序（从输入层到输出层）计算和存储神经网络中每层的结果。

我们将一步步研究单隐藏层神经网络的机制，为了简单起见，我们假设输入样本是，并且我们的隐藏层不包括偏置项。这里的中间变量是：

其中是隐藏层的权重参数。将中间变量通过激活函数之后，得到长度为的隐藏激活向量：

隐藏变量也是一个中间变量。假设输出层的参数只有权重，我们可以得到一个输出层变量，它是一个长度为的向量：

假设损失函数为，样本标签为，可以计算单个数据样本的损失项：

根据正则化的定义，给定超参数，正则化项为

其中矩阵的Frobenius范数是将矩阵展平为向量后应用的范数。最后，模型在给定数据样本的正则化损失为：

在下面的讨论中，把称为目标函数。

4.7.2. 前向传播计算图

绘制计算图有助于我们可视化计算中操作符和变量的依赖关系。下图是与上述简单网络相对应的计算图，其中正方形表示变量，圆圈表示操作符。左下角表示输入，右上角表示输出。注意显示数据流的箭头方向主要是向右和向上的。

4.7.3. 反向传播

反向传播（backward propagation或backpropagation）指的是计算神经网络参数梯度的方法。简言之，该方法根据微积分中的链式规则，按相反的顺序从输出层到输入层遍历网络。该算法存储了计算某些参数梯度时所需的任何中间变量（偏导数）。假设我们有函数和，其中输入和输出是任意形状的张量。利用链式法则，我们可以计算关于的导数：

在这里，我们使用运算符在执行必要的操作（如换位和交换输入位置）后将其参数相乘。对于向量，这很简单，它只是矩阵-矩阵乘法。对于高维张量，我们使用适当的对应项。运算符指代了所有的这些符号。

回想一下，在上面的计算图中的单隐藏层网络参数是和。反向传播的目的是计算梯度和。为此，应用链式法则，依次计算每个中间变量和参数的梯度。计算的顺序与前向传播中执行的顺序相反，因为我们需要从计算图的结果开始，并朝着参数的方向努力。第一步是计算目标函数相对于损失和正则化项的梯度。

接下来，我们根据链式法则计算目标函数关于输出层变量的梯度：

接下来，计算正则化项相对于两个参数的梯度：

现在我们可以计算最接近输出层的模型参数的梯度。使用链式法则得出：

为了获得关于的梯度，需要继续沿着输出层到隐藏层反向传播。关于隐藏层输出的梯度由下式给出：

由于激活函数是按元素计算的，计算中间变量的梯度需要使用按元素乘法运算符，我们用表示：

最后，我们可以得到最接近输入层的模型参数的梯度。根据链式法则，可以得到：

4.7.4. 训练神经网络

在训练神经网络时，前向传播和反向传播相互依赖。对于前向传播，我们沿着依赖的方向遍历计算图并计算其路径上的所有变量。然后将这些用于反向传播，其中计算顺序与计算图的相反。

上述简单网络为例：一方面，在前向传播期间计算正则项（公式4.7.5）取决于模型参数和的当前值。它们是由优化算法根据最近迭代的反向传播给出的。另一方面，反向传播期间参数（公式4.7.11）的梯度计算，取决于由前向传播给出的隐藏变量的当前值。

因此，在训练神经网络时，在初始化模型参数后，我们交替使用前向传播和反向传播，利用反向传播给出的梯度来更新模型参数。注意，反向传播重复利用前向传播中存储的中间值，以避免重复计算。带来的影响之一是我们需要保留中间值，直到反向传播完成。这也是训练比单纯的预测需要更多的内存（显存）的原因之一。此外，这些中间值的大小与网络层的数量和批量的大小大致成正比。因此，使用更大的批量来训练更深层次的网络更容易导致内存不足（out of memory）错误。

4.7.5. 小结

前向传播在神经网络定义的计算图中按顺序计算和存储中间变量，它的顺序是从输入层到输出层。

反向传播按相反的顺序（从输出层到输入层）计算和存储神经网络的中间变量和参数的梯度。

在训练深度学习模型时，前向传播和反向传播是相互依赖的。

训练比预测需要更多的内存。